Eine klassische Uhr ist eigentlich eine erstaunlich einfache Übersetzung von Zeit in ein Bild: Ein Kreis, drei Zeiger – und wir wissen sofort, wie spät es ist.
Aber Zeit muss mathematisch nicht nur so gedacht werden, wie wir es gewohnt sind. Eine ungewöhnliche Möglichkeit liefern die p-adischen Zahlen. Dort wird die Nähe zweier Zahlen nicht danach beurteilt, wie weit sie auf einer normalen Zahlengeraden auseinanderliegen. Entscheidend ist vielmehr, wie viele gemeinsame Stellen sie in ihrer p-adischen Struktur besitzen.
Vom Zeiger zum Baum
Die Uhr übersetzt dieses Prinzip in eine grafische Form. Statt sich auf einem Kreis zu drehen, bewegt sich die Zeit durch einen verzweigten Baum. Jede Ebene steht für eine weitere Stelle der p-adischen Darstellung. Der leuchtende Pfad zeigt den aktuellen Zustand.
Als Ausgangswert dienen die Sekunden, die seit Mitternacht vergangen sind. Dieselbe Zeit wird darunter zusätzlich ganz klassisch als Stunden, Minuten und Sekunden angezeigt. Beide Darstellungen zeigen also denselben Moment – nur in zwei vollkommen unterschiedlichen mathematischen Sprachen.
2, 3, 5 oder 7?
Über die Auswahl unter der Uhr lässt sich die zugrunde liegende Primzahl p verändern. Dadurch verändert sich auch die Struktur des Baums: von streng und minimalistisch bis dicht und fast fraktal.
Ein Umlauf sind nicht zwölf Stunden
Bei einer klassischen Uhr ist der Kreis fest mit einer Zeitspanne von 12 Stunden bzw. 60 Minuten bzw. 60 Sekunden verbunden: Der Stundenzeiger z.B. braucht zwölf Stunden für eine vollständige Umrundung. Bei der p-adischen Uhr ist das anders. Der Kreis zeigt hier keine lineare Zeitachse, sondern die möglichen Zustände einer endlichen p-adischen Darstellung.
Wie viele verschiedene Positionen es gibt, hängt von der gewählten Primzahl p und von der Anzahl der dargestellten Stellen ab. Bei n Stellen (das spezifische n wurde hier im Sinne einer schönen Darstellung gewählt) entstehen insgesamt pⁿ mögliche Zustände. Erst wenn alle diese Kombinationen einmal durchlaufen wurden, wiederholt sich die dargestellte Struktur.
Beispiel
Bei sechs Stellen im Dreiersystem sind das beispielsweise 3⁶ = 729 Zustände. Da die Uhr mit den seit Mitternacht vergangenen Sekunden arbeitet, entspricht ein vollständiger Zyklus in diesem Fall 729 Sekunden, also 12 Minuten und 9 Sekunden.
Die Umlaufzeit ist deshalb kein festes Maß wie bei einer normalen Uhr. Sie ergibt sich direkt aus der mathematischen Auflösung der p-adischen Darstellung.
Was bedeutet das reelle Pendant?
Das reelle Pendant zeigt, welche ganz normale Zahl zu der gerade dargestellten p-adischen Zahl gehört. Dadurch wird sichtbar, wie anders p-adische Zahlen „Nähe“ (Abstand, Betrag) verstehen.
Nehmen wir als Beispiel p = 3. Im normalen Zahlenraum liegen 1 und 28 ziemlich weit auseinander. Ihre Differenz beträgt 27.
Für die 3-adischen Zahlen ist genau das interessant:
28 − 1 = 27 = 3³
Die Differenz enthält also gleich drei Faktoren 3. Deshalb liegen 1 und 28 im 3-adischen Sinn erstaunlich nah beieinander. Genauso liegen 2-adisch 1 und 1025 sehr nah beieinander, denn ihre Differenz ist 1024 = 210.
Man kann sich das wie einen Baum vorstellen: Zwei Zahlen sind p-adisch umso näher, je länger sie denselben Ast teilen, bevor sich ihre Wege trennen. Dabei spielt es keine große Rolle, ob ihre normalen Zahlenwerte dicht nebeneinanderliegen oder weit auseinander. Die Äste dieses Baumes kann man auch in der oben dargestellten Visualisierung der Uhr erkennen. Von Sekunde zu Sekunde springt die Zeit von einem Ast zum andern Ast.
Das reelle Pendant macht diesen Unterschied sichtbar. Während sich der p-adische Zustand nur ein kleines Stück entlang eines gemeinsamen Astes bewegt, kann der dazugehörige Wert auf der normalen Zahlengeraden einen großen Sprung machen.
Genau darin steckt der Reiz: Was in unserer gewohnten Zahlenwelt weit auseinanderliegt, kann p-adisch unmittelbare Nachbarschaft sein.
Fazit
Eine Uhr ist ganz allgemein etwas, das sich auf eine regelmäßige oder erkennbare Weise verändert. Wir vergleichen diese Veränderung mit anderen Veränderungen, zum Beispiel wie oft ein Pendel schwingt, während etwas anderes passiert. Dafür müssen wir noch gar nicht wissen, ob Zeit eine gerade Linie ist oder mathematisch ganz anders funktioniert. Erst danach geben wir den Zuständen der Uhr Zahlen und nennen diese Ordnung „Zeit“: Dieselbe Zeit – aber ein anderer Blick darauf.
Die naturwissenschaftliche, reelle Zeit t ist ein hervorragend funktionierendes mathematisches Konstrukt. Ob sie darüber hinaus eine fundamentale Größe der Wirklichkeit ist oder erst aus Beziehungen zwischen Zuständen entsteht, ist damit nicht beantwortet. Ist die eigentlich fundamentale Zeit vielleicht sogar in ihrem Wesen p-adisch? Oder gibt es gar fundamental gesehen ganz andere mathematische Konstrukte, die auf p-adischen Zahlen basieren, und unsere reelle Zeit t ist in Wirklichkeit eine emergente Größe daraus? (So wie die Temperatur aus der Bewegung der Moleküle emergent ist.)
Was ist jetzt? Was ist ein Zeitpunkt?
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